Obsah
V této publikaci se budeme zabývat definicí hodnosti matice a také metodami, jimiž ji lze nalézt. Budeme také analyzovat příklady, abychom demonstrovali aplikaci teorie v praxi.
Určení hodnosti matice
Hodnost matice je hodnost jeho systému řádků nebo sloupců. Každá matice má své řádky a sloupce, které jsou si navzájem rovné.
Pořadí řádkového systému je maximální počet lineárně nezávislých řádků. Hodnost sloupcového systému se určuje podobným způsobem.
Poznámky:
- Hodnost nulové matice (označená symbolem „θ“) libovolné velikosti je nula.
- Hodnost libovolného nenulového řádkového vektoru nebo sloupcového vektoru je rovna jedné.
- Pokud matice libovolné velikosti obsahuje alespoň jeden prvek, který se nerovná nule, pak její hodnost není menší než jedna.
- Hodnost matice není větší než její minimální rozměr.
- Elementární transformace provedené na matici nemění její pořadí.
Zjištění hodnosti matice
Metoda Fringing Minor
Hodnost matice se rovná maximálnímu řádu nenulové .
Algoritmus je následující: najít nezletilé od nejnižších řádů po nejvyšší. Pokud menší nřád se nerovná nule a všechny následující (n + 1) se rovnají 0, takže hodnost matice je n.
Příklad
Aby to bylo jasnější, uvedeme si praktický příklad a najdeme hodnost matice A níže, za použití metody ohraničení nezletilých.
Řešení
Máme co do činění s maticí 4 × 4, proto její hodnost nemůže být vyšší než 4. V matici jsou také nenulové prvky, což znamená, že její hodnost není menší než jedna. Takže začneme:
1. Začněte kontrolovat nezletilí druhého řádu. Pro začátek vezmeme dva řádky prvního a druhého sloupce.
Minor se rovná nule.
Proto přejdeme na další moll (první sloupec zůstane a místo druhého vezmeme třetí).
Vedlejší je 54≠0, takže hodnost matice je alespoň dvě.
Poznámka: Pokud by se ukázalo, že tato vedlejší hodnota je rovna nule, dále bychom zkontrolovali následující kombinace:
V případě potřeby lze ve výčtu pokračovat stejným způsobem s řetězci:
- 1 a 3;
- 1 a 4;
- 2 a 3;
- 2 a 4;
- 3 a 4.
Pokud by se všichni nezletilí druhého řádu rovnali nule, pak by se hodnost matice rovnala jedné.
2. Téměř okamžitě se nám podařilo najít nezletilého, který nám vyhovuje. Pojďme tedy k nezletilí třetího řádu.
K nalezenému mollu druhého řádu, který dal nenulový výsledek, přidáme jeden řádek a jeden ze sloupců zvýrazněných zeleně (začínáme od druhého).
Nezletilý se ukázal jako nula.
Proto změníme druhý sloupec na čtvrtý. A na druhý pokus se nám podaří najít moll, který se nerovná nule, což znamená, že hodnost matice nemůže být menší než 3.
Poznámka: pokud by byl výsledek opět nulový, místo druhé řady bychom posunuli čtvrtou dále a pokračovali v hledání „dobrého“ moll.
3. Nyní zbývá určit nezletilí čtvrtého řádu na základě toho, co bylo zjištěno dříve. V tomto případě je to ten, který odpovídá determinantu matice.
Minor se rovná 144≠0. To znamená, že hodnost matice A rovná se 4.
Redukce matice na stupňovitý tvar
Hodnost krokové matice se rovná počtu jejích nenulových řádků. To znamená, že vše, co musíme udělat, je uvést matici do příslušného tvaru, například pomocí , které, jak jsme uvedli výše, nemění její hodnost.
Příklad
Najděte hodnost matice B níže. Nebereme příliš složitý příklad, protože naším hlavním cílem je jednoduše demonstrovat aplikaci metody v praxi.
Řešení
1. Nejprve odečtěte zdvojené první od druhého řádku.
2. Nyní odečtěte první řádek od třetího řádku, vynásobený čtyřmi.
Dostali jsme tedy krokovou matici, ve které je počet nenulových řádků roven dvěma, takže její hodnost je také rovna 2.