V této publikaci se budeme zabývat jednou z hlavních vět euklidovské geometrie – Stewartovou větou, která dostala takový název na počest anglického matematika M. Stewarta, který to dokázal. Budeme také podrobně analyzovat příklad řešení problému ke konsolidaci prezentovaného materiálu.
Prohlášení věty
Dan trojúhelník ABC. Po jeho boku AC zaujatý bod D, který je připojen k horní části B. Přijímáme následující zápis:
- AB = a
- BC = b
- BD = p
- AD = x
- DC = a
Pro tento trojúhelník platí rovnost:
Aplikace věty
Ze Stewartovy věty lze odvodit vzorce pro nalezení mediánů a os trojúhelníku:
1. Délka ose
Nechat lc je osa nakreslená na stranu c, který je rozdělen na segmenty x и y. Vezměme další dvě strany trojúhelníku jako a и b… V tomto případě:
2. Střední délka
Nechat mc je medián otočený dolů na stranu c. Označme další dvě strany trojúhelníku jako a и b… Pak:
Příklad problému
Trojúhelník dán ABC. Na straně AC rovný 9 cm, zaujatý bod D, který rozděluje stranu tak, že AD dvakrát tak dlouho DC. Délka segmentu spojujícího vrchol B a bod D, je 5 cm. V tomto případě vytvořený trojúhelník US je rovnoramenný. Najděte zbývající strany trojúhelníku ABC.
Řešení
Znázorněme podmínky problému ve formě výkresu.
AC = AD + DC = 9 cm. AD delší DC dvakrát, tzn AD = 2DC.
V důsledku toho se 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Tak, DC = 3 cm, AD = 6 cm.
Protože trojúhelník US – rovnoramenné a boční AD je 6 cm, takže jsou stejné AB и BDIe AB = 5 cm.
Zbývá jen najít BC, odvozením vzorce ze Stewartovy věty:
Známé hodnoty dosadíme do tohoto výrazu:
Tímto způsobem, BC = √52 ≈ 7,21 cm.