Jaká je limita funkce

V této publikaci se budeme zabývat jedním z hlavních konceptů matematické analýzy – limitou funkce: její definicí a také různými řešeními s praktickými příklady.

Určení limity funkce

Funkční limit – hodnota, ke které hodnota této funkce směřuje, když její argument směřuje k limitnímu bodu.

Limitní záznam:

• limit je označen ikonou lim;
• pod ním je přidáno, k jaké hodnotě argument (proměnná) funkce inklinuje. Obvykle toto x, ale ne nutně, například:x→1″;
• pak se vpravo přidá samotná funkce, například:

  

Výsledný záznam limitu tedy vypadá takto (v našem případě):

Čte se jako „limita funkce, protože x má tendenci k jednotě“.

x→ 1 – to znamená, že „x“ důsledně nabývá hodnot, které se nekonečně blíží jednotě, ale nikdy se s ní nebudou shodovat (nebudou dosaženy).

Rozhodovací limity

S daným číslem

Pojďme vyřešit výše uvedenou hranici. Chcete-li to provést, jednoduše nahraďte jednotku ve funkci (protože x→1):

Abychom tedy limitu vyřešili, nejprve se pokusíme dané číslo jednoduše dosadit do funkce pod ním (pokud x tíhne ke konkrétnímu číslu).

S nekonečnem

V tomto případě se argument funkce zvyšuje nekonečně, tj. "X" inklinuje k nekonečnu (∞). Například:

If x→∞, pak má daná funkce tendenci k mínus nekonečnu (-∞), protože:

• 3 - 1 = 2
• 3 - 10 = -7
• 3 - 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 atd.

Další složitější příklad

Pro vyřešení tohoto limitu také jednoduše zvyšte hodnoty x a podívejte se na „chování“ funkce v tomto případě.

• RџСўРё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџСўРё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџСўРё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Tedy pro "X"inklinující k nekonečnu, funkce x² +3x –6 roste donekonečna.

S nejistotou (x má tendenci k nekonečnu)

V tomto případě mluvíme o limitách, kdy funkcí je zlomek, jehož čitatelem a jmenovatelem jsou polynomy. V čem "X" inklinuje k nekonečnu.

Příklad: vypočítáme limit níže.

Řešení

Výrazy v čitateli i ve jmenovateli mají sklon k nekonečnu. Dá se předpokládat, že v tomto případě bude řešení následující:

Nicméně, ne všechno tak jednoduché. Abychom limit vyřešili, musíme udělat následující:

1. Nalézt x na nejvyšší mocninu v čitateli (v našem případě je to dvojka).

2. Podobně definujeme x na nejvyšší mocninu ve jmenovateli (rovněž se rovná dvěma).

3. Nyní vydělíme jak čitatele, tak i jmenovatele x v seniorském stupni. V našem případě v obou případech – ve druhém, ale pokud by byly odlišné, měli bychom vzít nejvyšší stupeň.

4. Ve výsledném výsledku mají všechny zlomky tendenci k nule, proto je odpověď 1/2.

S nejistotou (x má tendenci ke konkrétnímu číslu)

Čitatel i jmenovatel jsou však polynomy, "X" inklinuje k určitému číslu, ne k nekonečnu.

V tomto případě podmíněně zavíráme oči před skutečností, že jmenovatel je nula.

Příklad: Níže najdeme limit funkce.

Řešení

1. Nejprve dosadíme číslo 1 do funkce, do které "X". Dostáváme nejistotu formy, kterou uvažujeme.

2. Dále rozložíme čitatel a jmenovatel na faktory. K tomu lze použít zkrácené násobící vzorce, pokud jsou vhodné, popř.

V našem případě kořeny výrazu v čitateli (2x² – 5x + 3 = 0) jsou čísla 1 a 1,5. Proto může být reprezentován jako: 2(x-1)(x-1,5).

Jmenovatel (x–1) je zpočátku jednoduchý.

3. Dostaneme takto upravenou limitu:

4. Zlomek lze snížit o (x–1):

5. Zbývá pouze dosadit číslo 1 ve výrazu získaném pod limitem: