Obsah
V tomto článku se budeme zabývat definicí mediánu trojúhelníku, uvedeme jeho vlastnosti a také analyzujeme příklady řešení problémů ke konsolidaci teoretického materiálu.
Definice mediánu trojúhelníku
Medián je úsečka, která spojuje vrchol trojúhelníku se středem strany protilehlé tomuto vrcholu.
- BF je medián nakreslený na stranu AC.
- AF = FC
Základní medián – průsečík střednice se stranou trojúhelníku, jinými slovy, střed této strany (bod F).
střední vlastnosti
Vlastnost 1 (hlavní)
Protože pokud má trojúhelník tři vrcholy a tři strany, pak existují tři mediány. Všechny se protínají v jednom boděO), který se nazývá těžiště or těžiště trojúhelníku.
V místě průsečíku mediánů je každý z nich rozdělen v poměru 2: 1, počítáno shora. Ti.:
- AO = 2OE
- BO = 2OF
- CO = 2OD
Vlastnost 2
Medián rozděluje trojúhelník na 2 trojúhelníky o stejné ploše.
S1 =S2
Vlastnost 3
Tři mediány rozdělují trojúhelník na 6 trojúhelníků o stejné ploše.
S1 =S2 =S3 =S4 =S5 =S6
Vlastnost 4
Nejmenší medián odpovídá největší straně trojúhelníku a naopak.
- AC je nejdelší strana, tedy medián BF - nejkratší.
- AB je nejkratší strana, tedy medián CD - nejdelší.
Vlastnost 5
Předpokládejme, že známe všechny strany trojúhelníku (berme je jako a, b и c).
střední délka matažen do strany a, lze nalézt podle vzorce:
Příklady úloh
Úkol 1
Plocha jednoho z obrazců vytvořených v důsledku průniku tří mediánů v trojúhelníku je 5 cm2. Najděte oblast trojúhelníku.
Řešení
Podle vlastnosti 3, diskutované výše, v důsledku průniku tří mediánů vznikne 6 trojúhelníků, které mají stejnou plochu. Tudíž:
S△ = 5 XNUMX cm2 ⋅ 6 = 30 cm2.
Úkol 2
Strany trojúhelníku jsou 6, 8 a 10 cm. Najděte střed nakreslený na stranu o délce 6 cm.
Řešení
Použijme vzorec uvedený ve vlastnosti 5:
