Extrahování odmocniny komplexního čísla

V této publikaci se podíváme na to, jak můžete vzít odmocninu z komplexního čísla, a také jak to může pomoci při řešení kvadratických rovnic, jejichž diskriminant je menší než nula.

Extrahování odmocniny komplexního čísla

Odmocnina

Jak víme, je nemožné vzít odmocninu ze záporného reálného čísla. Ale pokud jde o komplexní čísla, lze tuto akci provést. Pojďme na to přijít.

Řekněme, že máme číslo z = -9. Forum √-9 jsou dva kořeny:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Získané výsledky zkontrolujme řešením rovnice z² = -9, na to nezapomenout i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Tím jsme to dokázali -3i и 3i jsou kořeny √-9.

Kořen záporného čísla se obvykle zapisuje takto:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i atd.

Odmocnina n

Předpokládejme, že jsou nám dány rovnice tvaru z = ⁿ√w… Má to n kořeny (z₀, O₁, O₂,…, z_n-1), který lze vypočítat pomocí níže uvedeného vzorce:

|w| je modul komplexního čísla w;

φ – jeho argument

k je parametr, který nabývá hodnot: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Kvadratické rovnice s komplexními kořeny

Extrahování odmocniny záporného čísla mění obvyklou představu uXNUMXbuXNUMXb. Pokud diskriminační (D) je menší než nula, pak nemohou existovat reálné kořeny, ale mohou být reprezentovány jako komplexní čísla.

Příklad

Pojďme řešit rovnici x² – 8x + 20 = 0.

Řešení

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 - 80 = -16

D < 0, ale stále můžeme vzít kořen negativního diskriminantu:

√D = √-16 = ±4i

Nyní můžeme vypočítat kořeny:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Proto rovnice x² – 8x + 20 = 0 má dva komplexní konjugované kořeny:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i