Zvýšení komplexního čísla na přirozenou mocninu

V této publikaci se budeme zabývat tím, jak lze komplexní číslo umocnit (včetně použití De Moivreho vzorce). Teoretický materiál je pro lepší pochopení doplněn příklady.

Zvýšení komplexního čísla na mocninu

Nejprve si pamatujte, že komplexní číslo má obecný tvar: z = a + bi (algebraická forma).

Nyní můžeme přistoupit přímo k řešení problému.

Číslo umocněné na druhou

Můžeme reprezentovat stupeň jako součin stejných faktorů a pak najít jejich součin (a přitom si to zapamatovat i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

Příklad 1:

z = 3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i) (3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Můžete také použít, konkrétně druhou mocninu součtu:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Poznámka: Stejným způsobem lze v případě potřeby získat vzorce pro druhou mocninu rozdílu, třetí mocninu součtu / rozdílu atd.

N-tý stupeň

Zvyšte komplexní číslo z v naturáliích n mnohem snazší, pokud je znázorněna v trigonometrické formě.

Připomeňme, že obecně zápis čísla vypadá takto: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Pro umocnění můžete použít De Moivreův vzorec (pojmenovaný po anglickém matematikovi Abrahamovi de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Vzorec se získá zápisem v goniometrickém tvaru (moduly se vynásobí a argumenty se sečtou).

Příklad 2

Zvyšte komplexní číslo z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) do osmého stupně.

Řešení

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).