V této publikaci se budeme zabývat tím, co je Gaussova metoda, proč je potřeba a jaký je její princip. Na praktickém příkladu si také ukážeme, jak lze metodu aplikovat na řešení soustavy lineárních rovnic.
Popis Gaussovy metody
Gaussova metoda je klasická metoda sekvenční eliminace proměnných používaných k řešení . Je pojmenována po německém matematikovi Carlu Friedrichu Gaussovi (1777-1885).
Nejprve si však připomeňme, že SLAU může:
- mít jedno jediné řešení;
- mít nekonečný počet řešení;
- být nekompatibilní, tj. nemají žádná řešení.
Praktické výhody
Gaussova metoda je skvělý způsob, jak vyřešit SLAE, která obsahuje více než tři lineární rovnice a také systémy, které nejsou čtvercové.
Princip Gaussovy metody
Metoda zahrnuje následující kroky:
- rovně – rozšířená matice odpovídající soustavě rovnic je mimořádně redukována nad řádky do horního trojúhelníkového (stupňovaného) tvaru, tj. pod hlavní diagonálou by měly být pouze prvky rovné nule.
- zpátky – ve výsledné matici jsou také prvky nad hlavní úhlopříčkou nastaveny na nulu (dolní trojúhelníkový pohled).
Příklad řešení SLAE
Vyřešme soustavu lineárních rovnic níže pomocí Gaussovy metody.
Řešení
1. Nejprve uvádíme SLAE ve formě rozšířené matice.
2. Nyní je naším úkolem resetovat všechny prvky pod hlavní diagonálou. Další akce závisí na konkrétní matici, níže popíšeme ty, které platí pro náš případ. Nejprve prohodíme řádky, čímž umístíme jejich první prvky ve vzestupném pořadí.
3. Odečtěte od druhého řádku dvakrát první a od třetího – ztrojnásobte první.
4. Přidejte druhý řádek ke třetímu řádku.
5. Odečtěte druhý řádek od prvního řádku a zároveň vydělte třetí řádek -10.
6. První fáze je dokončena. Nyní potřebujeme dostat nulové prvky nad hlavní diagonálu. Chcete-li to provést, odečtěte třetí vynásobený 7 od prvního řádku a přidejte třetí vynásobený 5 k druhému.
7. Výsledná rozšířená matice vypadá takto:
8. Odpovídá soustavě rovnic:
Odpověď: kořenový SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.