Lineární závislé a nezávislé řádky: definice, příklady

V této publikaci se budeme zabývat tím, co je lineární kombinace strun, lineárně závislé a nezávislé struny. Pro lepší pochopení teoretické látky uvedeme i příklady.

Definování lineární kombinace řetězců

Lineární kombinace (LK) termín s₁S₂, …, s_n matice A nazvaný výraz v následujícím tvaru:

αs₁ + αs₂ + … + αs_n

Pokud všechny koeficienty α_i jsou rovny nule, takže LC je triviální. Jinými slovy, triviální lineární kombinace se rovná nulovému řádku.

Například: 0 · s₁ + 0 · s₂ + 0 · s₃

V souladu s tím, pokud alespoň jeden z koeficientů α_i se nerovná nule, pak LC je netriviální.

Například: 0 · s₁ + 2 · s₂ + 0 · s₃

Lineárně závislé a nezávislé řádky

Strunový systém je lineárně závislé (LZ), pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, která se rovná nulové čáře.

Z toho plyne, že netriviální LC se může v některých případech rovnat nulovému řetězci.

Strunový systém je lineárně nezávislý (LNZ), pokud se pouze triviální LC rovná nulovému řetězci.

Poznámky:

• Ve čtvercové matici je řádkový systém LZ pouze v případě, že determinant této matice je nula (ο = 0).
• Ve čtvercové matici je řádkový systém LIS pouze v případě, že determinant této matice není roven nule (ο ≠ 0).

Příklad problému

Pojďme zjistit, zda je systém strun {s₁ = {3 4};s₂ = {9 12}} lineárně závislé.

Rozhodnutí:

1. Nejprve si udělejme LC.

α₁{3 4} + a₂{9 12}.

2. Nyní pojďme zjistit, jaké hodnoty by měly mít α₁ и α₂takže lineární kombinace se rovná nulovému řetězci.

α₁{3 4} + a₂{9 12} = {0 0}.

3. Vytvořme soustavu rovnic:

4. Vydělte první rovnici třemi, druhou čtyřmi:

5. Řešení tohoto systému je libovolné α₁ и α₂, S α₁ = -3a₂.

Například, pokud α₂ = 2pak α₁ = -6. Tyto hodnoty dosadíme do výše uvedeného systému rovnic a získáme:

Odpověď: takže čáry s₁ и s₂ lineárně závislé.