Obsah
V této publikaci se budeme zabývat hlavními vlastnostmi výšky v pravoúhlém trojúhelníku a také analyzujeme příklady řešení problémů na toto téma.
Poznámka: trojúhelník se nazývá obdélníkový, pokud je jeden z jejích úhlů pravý (rovný 90°) a další dva jsou ostré (<90°).
Výškové vlastnosti v pravoúhlém trojúhelníku
Vlastnost 1
Pravoúhlý trojúhelník má dvě výšky (h1 и h2) se shodují s jeho nohama.
třetí výška (h3) sestupuje do přepony z pravého úhlu.
Vlastnost 2
Ortocentrum (průsečík výšek) pravoúhlého trojúhelníku je ve vrcholu pravého úhlu.
Vlastnost 3
Výška v pravoúhlém trojúhelníku nakresleném na přeponu ji rozděluje na dva podobné pravoúhlé trojúhelníky, které jsou také podobné tomu původnímu.
1. △US ~ △ABC ve dvou stejných úhlech: ∠ADB = ∠LAC (přímky), ∠US = ∠ABC.
2. △Pobočník ~ △ABC ve dvou stejných úhlech: ∠Pobočník = ∠LAC (přímky), ∠CDA = ∠ACB.
3. △US ~ △Pobočník ve dvou stejných úhlech: ∠US = ∠DAC, ∠BAD = ∠CDA.
Důkaz: ∠BAD = 90° – ∠ABD (ABC). Zároveň ∠ACD (ACB) = 90° – ∠ABC.
Proto ∠BAD = ∠CDA.
Obdobným způsobem lze dokázat, že ∠US = ∠DAC.
Vlastnost 4
V pravoúhlém trojúhelníku se výška nakreslená k přeponě vypočítá takto:
1. Přes segmenty na přeponě, vzniklý v důsledku jeho dělení základnou výšky:
2. Přes délky stran trojúhelníku:
Tento vzorec je odvozen z Vlastnosti sinusu ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku (sinus úhlu se rovná poměru protější větve k přeponě):
Poznámka: na pravoúhlý trojúhelník platí také obecné výškové vlastnosti uvedené v naší publikaci.
Příklad problému
Úkol 1
Přepona pravoúhlého trojúhelníku je rozdělena výškou k ní nakreslenou na segmenty 5 a 13 cm. Najděte délku této výšky.
Řešení
Použijme první vzorec uvedený v Vlastnost 4:
Úkol 2
Nohy pravoúhlého trojúhelníku jsou 9 a 12 cm. Najděte délku nadmořské výšky nakreslené k přeponě.
Řešení
Nejprve najdeme délku přepony podél (nechť nohy trojúhelníku jsou "na" и „B“a přepona je „Vs“):
c2 = A2 + B2 = 92 + 122 = 225.
V důsledku toho se с = 15 cm.
Nyní můžeme použít druhý vzorec z Vlastnosti 4diskutované výše:
