Fermatova malá věta

V této publikaci se budeme zabývat jednou z hlavních vět v teorii celých čísel –  Fermatova malá větapojmenovaný po francouzském matematikovi Pierre de Fermat. Budeme také analyzovat příklad řešení problému pro konsolidaci prezentovaného materiálu.

Prohlášení věty

1. Počáteční

If p je prvočíslo a je celé číslo, které není dělitelné ppak a^p-1 - 1 děleno p.

Formálně se to píše takto: a^p-1 ≡ 1 (proti p).

Poznámka: Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné pouze XNUMX a sebou samým.

Například:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• číslo 15 děleno 5 beze zbytku.

2. Alternativní

If p je prvočíslo, a tedy libovolné celé číslo a^p srovnatelné s a modulo p.

a^p ≡ a (proti p)

Historie hledání důkazů

Pierre de Fermat formuloval větu v roce 1640, ale sám ji neprokázal. Později tak učinil Gottfried Wilhelm Leibniz, německý filozof, logik, matematik atd. Předpokládá se, že důkaz měl již v roce 1683, ačkoli nebyl nikdy publikován. Je pozoruhodné, že Leibniz objevil teorém sám, aniž by věděl, že již byla formulována dříve.

První důkaz teorému byl publikován v roce 1736 a patří Švýcarovi, Němci a matematikovi a mechanikovi Leonhardu Eulerovi. Fermatova malá věta je speciálním případem Eulerovy věty.

Příklad problému

Najděte zbytek čísla 2¹² on 12.

Řešení

Představme si číslo 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 je prvočíslo, proto Fermatovou malou větou dostáváme:

2¹¹ ≡ 2 (proti 11).

Proto, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (proti 11).

Takže číslo 2¹² děleno 12 se zbytkem rovným 4.