V této publikaci se budeme zabývat definicí, klasifikací a vlastnostmi jednoho z hlavních geometrických tvarů – trojúhelníku. Budeme také analyzovat příklady řešení problémů ke konsolidaci prezentovaného materiálu.
Definice trojúhelníku
Trojúhelník – Jedná se o geometrický obrazec v rovině sestávající ze tří stran, které jsou tvořeny spojením tří bodů, které neleží na jedné přímce. Pro označení se používá speciální symbol – △.
- Body A, B a C jsou vrcholy trojúhelníku.
- Úseky AB, BC a AC jsou strany trojúhelníku, které se často označují jako jedno latinské písmeno. Například AB= a, př.nl = b, AND = c.
- Vnitřek trojúhelníku je část roviny ohraničená stranami trojúhelníku.
Vrcholové strany trojúhelníku svírají tři úhly, tradičně označované řeckými písmeny – α, β, γ atd. Z tohoto důvodu se trojúhelníku také říká mnohoúhelník se třemi rohy.
Úhly lze také označit speciálním znakem „∠"
- α – ∠BAC nebo ∠CAB
- β – ∠ABC nebo ∠CBA
- γ – ∠ACB nebo ∠BCA
Klasifikace trojúhelníků
V závislosti na velikosti úhlů nebo počtu stejných stran se rozlišují následující typy obrazců:
1. ostroúhlý – trojúhelník se všemi třemi ostrými úhly, tj. menšími než 90°.
2. tupý Trojúhelník, ve kterém je jeden z úhlů větší než 90°. Další dva úhly jsou ostré.
3. Obdélníkový – trojúhelník, ve kterém je jeden z úhlů pravý, tj. roven 90°. Na takovém obrázku se dvě strany, které svírají pravý úhel, nazývají nohy (AB a AC). Třetí strana proti pravému úhlu je přepona (BC).
4. Univerzální Trojúhelník, jehož všechny strany mají různé délky.
5. Rovnoramenný – trojúhelník se dvěma stejnými stranami, které se nazývají boční (AB a BC). Třetí strana je základna (AC). Na tomto obrázku jsou základní úhly stejné (∠BAC = ∠BCA).
6. Rovnostranné (nebo správné) Trojúhelník, ve kterém jsou všechny strany stejně dlouhé. Také všechny jeho úhly jsou 60°.
Vlastnosti trojúhelníku
1. Každá ze stran trojúhelníku je menší než zbývající dvě, ale větší než jejich rozdíl. Pro pohodlí přijímáme standardní označení stran – a, b и с… Pak:
b – c < a < b + cAt b > c
Tato vlastnost se používá k testování segmentů čar, aby se zjistilo, zda mohou tvořit trojúhelník.
2. Součet úhlů libovolného trojúhelníku je 180°. Z této vlastnosti vyplývá, že v tupoúhlém trojúhelníku jsou dva úhly vždy ostré.
3. V každém trojúhelníku je větší úhel proti větší straně a naopak.
Příklady úloh
Úkol 1
V trojúhelníku jsou známé dva úhly, 32° a 56°. Najděte hodnotu třetího úhlu.
Řešení
Vezměme známé úhly jako α (32°) a β (56°) a neznámo – vzadu γ.
Podle vlastnosti o součtu všech úhlů a+b+c = 180 °.
V důsledku toho se γ = 180 ° – a – b = 180 ° – 32 ° – 56 ° = 92 °.
Úkol 2
Jsou dány tři úsečky o délce 4, 8 a 11. Zjistěte, zda mohou tvořit trojúhelník.
Řešení
Složme nerovnosti pro každý z daných segmentů na základě vlastnosti diskutované výše:
11 – 4 <8 <11 + 4
8 – 4 <11 <8 + 4
11 – 8 <4 <11 + 8
Všechny jsou správné, proto tyto segmenty mohou být stranami trojúhelníku.