Hledání inverzní matice

V této publikaci se budeme zabývat tím, co je inverzní matice, a také na praktickém příkladu analyzujeme, jak ji lze najít pomocí speciálního vzorce a algoritmu pro sekvenční akce.

Definice inverzní matice

Nejprve si připomeňme, co jsou reciproční hodnoty v matematice. Řekněme, že máme číslo 7. Pak bude jeho inverzní číslo 7^-1 or ¹/₇. Pokud tato čísla vynásobíte, výsledek bude jedna, tedy 7 7^-1 = 1.

Téměř to samé s matricemi. Zvrátit taková matice se nazývá, vynásobením původní matice získáme identitní. Je označena jako A^-1.

A · A^-1 =E

Algoritmus pro nalezení inverzní matice

Chcete-li najít inverzní matici, musíte být schopni vypočítat matice a také mít dovednosti s nimi provádět určité akce.

Ihned je třeba poznamenat, že inverzní lze nalézt pouze pro čtvercovou matici, a to pomocí vzorce níže:

|A| – maticový determinant;

A^T_M je transponovaná matice algebraických sčítání.

Poznámka: pokud je determinant nulový, pak inverzní matice neexistuje.

Příklad

Pojďme najít matici A níže je jeho opak.

Řešení

1. Nejprve najdeme determinant dané matice.

2. Nyní udělejme matici, která má stejné rozměry jako původní:

Musíme zjistit, která čísla by měla nahradit hvězdičky. Začněme levým horním prvkem matice. Vedlejší k němu se zjistí přeškrtnutím řádku a sloupce, ve kterém se nachází, tedy v obou případech u jedničky.

Číslo, které po přeškrtnutí zůstane, je požadované vedlejší, tzn M₁₁ = 8.

Podobně najdeme minoritní položky pro zbývající prvky matice a získáme následující výsledek.

3. Definujeme matici algebraických sčítání. Jak je vypočítat pro každý prvek, jsme zvážili samostatně.

Například pro prvek a₁₁ algebraické sčítání se uvažuje takto:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 8 = 8

4. Proveďte transpozici výsledné matice algebraických sčítání (tj. prohoďte sloupce a řádky).

5. K nalezení inverzní matice zbývá pouze použít výše uvedený vzorec.

Odpověď můžeme ponechat v této podobě, bez dělení prvků matice číslem 11, protože v tomto případě dostaneme ošklivá zlomková čísla.

Kontrola výsledku

Abychom se ujistili, že jsme dostali inverzní hodnotu původní matice, můžeme najít jejich součin, který by se měl rovnat matici identity.

V důsledku toho jsme získali matici identity, což znamená, že jsme udělali vše správně.