Systém lineárních algebraických rovnic

V této publikaci se budeme zabývat definicí soustavy lineárních algebraických rovnic (SLAE), jak vypadá, jaké existují typy a také jak ji prezentovat v maticové formě, včetně rozšířené.

Definice soustavy lineárních rovnic

Systém lineárních algebraických rovnic (nebo zkráceně „SLAU“) je systém, který obecně vypadá takto:

• m je počet rovnic;
• n je počet proměnných.
• x₁, X₂,…, X_n – neznámý;
• a₁₁,₁₂…, a_mn – koeficienty pro neznámé;
• b₁, b₂,…, b_m – členové zdarma.

Indexy koeficientů (a_ij) se tvoří takto:

• i je číslo lineární rovnice;
• j je číslo proměnné, ke které se koeficient vztahuje.

řešení SLAU – taková čísla c₁C₂,…, c_n , v jehož nastavení místo x₁, X₂,…, X_n, všechny rovnice systému se změní na identity.

Typy SLAU

1. Homogenní – všichni volní členové systému jsou rovni nule (b₁ =b₂ = … = b_m = 0).

   

2. Heterogenní – není-li splněna výše uvedená podmínka.
3. náměstí – počet rovnic je roven počtu neznámých, tzn m = n.

   

4. Nedostatečně určeno – počet neznámých je větší než počet rovnic.

   

5. přepsáno Existuje více rovnic než proměnných.

   

V závislosti na počtu řešení může být SLAE:

1. Kloub má alespoň jedno řešení. Navíc, pokud je jedinečný, systém se nazývá určitý, pokud existuje více řešení, nazývá se neurčitý.

   

   Výše uvedený SLAE je společný, protože existuje alespoň jedno řešení: x = 2, y = 3.

2. neslučitelný Systém nemá řešení.

   

   Pravé strany rovnic jsou stejné, ale levé ne. Neexistují tedy žádná řešení.

Maticový zápis systému

SLAE může být reprezentován v maticové formě:

AX = B

• A je matice tvořená koeficienty neznámých:

  

• X – sloupec proměnných:

  

• B – sloupec volných členů:

  

Příklad

Níže uvedený systém rovnic představujeme ve formě matice:

Pomocí výše uvedených formulářů skládáme hlavní matici s koeficienty, sloupce s neznámými a volnými členy.

Kompletní záznam daného systému rovnic v maticové podobě:

Rozšířená matice SLAE

Pokud do matice systému A přidat sloupec volných členů vpravo B, oddělující data svislým pruhem, získáte rozšířenou matici SLAE.

Ve výše uvedeném příkladu to vypadá takto:

– označení rozšířené matice.