Obsah
V této publikaci se budeme zabývat definicí a hlavními vlastnostmi středových čar konvexního čtyřúhelníku, pokud jde o jejich průsečík, vztah s úhlopříčkami atd.
Poznámka: V následujícím budeme uvažovat pouze konvexní obrazec.
Určení středové čáry čtyřúhelníku
Úsek spojující středy protilehlých stran čtyřúhelníku (tj. neprotínající je) se nazývá jeho střední čára.
- EF – střední čára spojující středy AB и CD; AE=EB, CF=FD.
- GH – střední čára oddělující středy BC и INZERÁT; BG=GC, AH=HD.
Vlastnosti středové čáry čtyřúhelníku
Vlastnost 1
Střední čáry čtyřúhelníku se protínají a půlí v bodě průsečíku.
- EF и GH (střední čáry) se protínají v bodě O;
- EO=OF, GO=OH.
Poznámka: Bod O is těžiště (nebo barycentrum) čtyřúhelník.
Vlastnost 2
Průsečík středních os čtyřúhelníku je středem segmentu spojujícího středy jeho úhlopříček.
- K – střed úhlopříčky AC;
- L – střed úhlopříčky BD;
- KL prochází bodem Ospojující K и L.
Vlastnost 3
Středy stran čtyřúhelníku jsou vrcholy rovnoběžníku tzv Paralelogram Varignonu.
Střed takto vytvořeného rovnoběžníku a průsečík jeho úhlopříček je středem střednic původního čtyřúhelníku, tj. jejich průsečíkem. O.
Poznámka: Plocha rovnoběžníku je polovina plochy čtyřúhelníku.
Vlastnost 4
Pokud jsou úhly mezi úhlopříčkami čtyřúhelníku a jeho středovou čarou stejné, pak mají úhlopříčky stejnou délku.
- EF – střední čára;
- AC и BD – úhlopříčky;
- ∠ELC = ∠BMF = a, Tudíž AC=BD.
Vlastnost 5
Středová čára čtyřúhelníku je menší nebo rovna polovině součtu jeho neprotínajících se stran (za předpokladu, že tyto strany jsou rovnoběžné).
EF – střední čára, která se neprotíná se stranami AD и BC.
Jinými slovy, středová čára čtyřúhelníku se rovná polovině součtu stran, které jej neprotínají právě tehdy, je-li daný čtyřúhelník lichoběžník. V tomto případě jsou uvažované strany základem obrázku.
Vlastnost 6
Pro středový vektor libovolného čtyřúhelníku platí následující rovnost:
