V této publikaci se budeme zabývat jednou z klasických vět afinní geometrie – Cevovou větou, která dostala takové jméno na počest italského inženýra Giovanniho Ceva. Budeme také analyzovat příklad řešení problému, abychom konsolidovali prezentovaný materiál.
Prohlášení věty
Trojúhelník dán ABC, ve kterém je každý vrchol spojen s bodem na opačné straně.
Dostaneme tedy tři segmenty (AA', BB' и CC'), které se nazývají ceviány.
Tyto segmenty se protínají v jednom bodě právě tehdy, když platí následující rovnost:
|A'| |NE'| |CB'| = |PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM'| |POSUN'| |AB'|
Větu lze prezentovat i v této podobě (určuje se, v jakém poměru body rozdělují strany):
Cevova trigonometrická věta
Poznámka: všechny rohy jsou orientovány.
Příklad problému
Trojúhelník dán ABC s tečkami NA', B' и C ' na stranách BC, AC и AB, resp. Vrcholy trojúhelníku jsou připojeny k daným bodům a vytvořené úsečky procházejí jedním bodem. Zároveň body NA' и B' pořízeno ve středech odpovídajících protilehlých stran. Zjistěte, v jakém poměru je bod C ' rozděluje stranu AB.
Řešení
Nakreslíme výkres podle podmínek úlohy. Pro naše pohodlí používáme následující zápis:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Zbývá pouze sestavit poměr segmentů podle Ceva teorému a dosadit do něj přijatý zápis:
Po zmenšení zlomků dostaneme:
Proto, AC' = C'B, tj. bod C ' rozděluje stranu AB v polovině.
Proto v našem trojúhelníku segmenty AA', BB' и CC' jsou mediány. Po vyřešení úlohy jsme dokázali, že se protínají v jednom bodě (platí pro jakýkoli trojúhelník).
Poznámka: pomocí Cevovy věty lze dokázat, že v trojúhelníku se v jednom bodě protínají i osy nebo výšky.