Křížový součin vektorů

V této publikaci se budeme zabývat tím, jak najít křížový součin dvou vektorů, podat geometrickou interpretaci, algebraický vzorec a vlastnosti této akce a také analyzovat příklad řešení problému.

Geometrická interpretace

Vektorový součin dvou nenulových vektorů a и b je vektor c, který je označen jako [a, b] or a x b.

Délka vektoru c se rovná ploše rovnoběžníku vytvořeného pomocí vektorů a и b.

V tomto případě, c kolmo k rovině, ve které se nacházejí a и b, a je umístěn tak, aby nejmenší rotace od a к b byla provedena proti směru hodinových ručiček (z pohledu konce vektoru).

Vzorec křížového produktu

Součin vektorů a = {a_x; na_y,_z} i b = {b_x; b_y, b_z} se vypočítá pomocí jednoho z níže uvedených vzorců:

Křížové vlastnosti produktu

1. Křížový součin dvou nenulových vektorů je roven nule právě tehdy, když jsou tyto vektory kolineární.

[a, b] = 0, Pokud a || b.

2. Modul křížového součinu dvou vektorů se rovná ploše rovnoběžníku tvořeného těmito vektory.

S_paralelní = |a x b|

3. Plocha trojúhelníku tvořeného dvěma vektory se rovná polovině jejich vektorového součinu.

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. Vektor, který je křížovým součinem dvou dalších vektorů, je na ně kolmý.

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = -b x a

6. (m a) X a = a x (m b) = m (a x b)

7. (a + b) X c = a x c + b x c

Příklad problému

Vypočítejte křížový součin a = {2; 4; 5} и b = {9; -dva; 3}.

Rozhodnutí:

Odpověď: a x b = {19; 43; -42}.