Obsah
V této publikaci se budeme zabývat základními vlastnostmi výšky v rovnostranném (pravidelném) trojúhelníku. Rozebereme také příklad řešení problému na toto téma.
Poznámka: trojúhelník se nazývá rovnostrannýpokud jsou všechny jeho strany stejné.
Výškové vlastnosti v rovnostranném trojúhelníku
Vlastnost 1
Jakákoli výška v rovnostranném trojúhelníku je jak osou, tak střednicí a kolmicí.
- BD – výška snížena na stranu AC;
- BD je medián, který rozděluje stranu AC na polovinu, tzn AD = DC;
- BD – úhlová osa ABC, tj. ∠ABD = ∠CBD;
- BD je medián kolmý k AC.
Vlastnost 2
Všechny tři výšky v rovnostranném trojúhelníku mají stejnou délku.
AE = BD = CF
Vlastnost 3
Výšky v rovnostranném trojúhelníku v ortocentru (průsečíku) jsou rozděleny v poměru 2:1, počítáno od vrcholu, ze kterého jsou kresleny.
- AO = 2OE
- BO = 2OD
- CO = 2OF
Vlastnost 4
Ortocentrum rovnostranného trojúhelníku je středem vepsané a opsané kružnice.
- R je poloměr kružnice opsané;
- r je poloměr vepsané kružnice;
- R = 2r (vyplývá z Vlastnosti 3).
Vlastnost 5
Výška v rovnostranném trojúhelníku jej rozděluje na dva pravoúhlé trojúhelníky stejné plochy (stejné plochy).
S1 =S2
Tři výšky v rovnostranném trojúhelníku jej rozdělují na 6 pravoúhlých trojúhelníků o stejné ploše.
Vlastnost 6
Při znalosti délky strany rovnostranného trojúhelníku lze jeho výšku vypočítat podle vzorce:
a je strana trojúhelníku.
Příklad problému
Poloměr kružnice opsané rovnostrannému trojúhelníku je 7 cm. Najděte stranu tohoto trojúhelníku.
Řešení
Jak víme z vlastnosti 3 и 4, poloměr kružnice opsané je 2/3 výšky rovnostranného trojúhelníku (h). Tudíž, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 cm.
Nyní zbývá vypočítat délku strany trojúhelníku (výraz je odvozen ze vzorce v Vlastnost 6):
